Вы здесь: Главная > Школьникам > Олимпиада по математике 11 класс с ответами 2018-2019 городской этап

Олимпиада по математике 11 класс с ответами 2018-2019 городской этап

  1. класс
  1. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Доказать, что построенное сечение – трапеция. (7баллов)
  2. Найдите все решения уравнения: .(7баллов)
  3. В квадрате KCNM на серединах сторон КМ и MN отмечены точки А и В, которые соединены с вершиной С. Найти ACB. (7баллов)
  4. Можно ли разрезать арбуз на 4 части так, чтобы после того, как его съели, осталось 5 корок? (7баллов)

      5.Найти значение выражения:  при .(7баллов)

Решения 11 класс

  1. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Доказать, что построенное сечение – трапеция.

Решение. 

По условию задачи точка N – середина DC.

Известно, что если плоскость проходит через данную прямую, параллельную  другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, плоскость сечения пересечет основания А1В1C1D1 и ABCD по параллельным отрезкам. Проведем BD, BD || B1D1.

Из точки N проводим MN BD, значит MN B1D1. Соединим точки B1 и М, D1 и N, тогда B1D1NM – искомое сечение. Таким образом, в четырехугольнике B1D1NM имеем B1D1 NM, значит B1D1NM – трапеция (по определению).

  1. Найдите все решения уравнения: .

Решение. 

Ответ: 

  1. В квадрате KCNM на серединах сторон КМ и MN отмечены точки А и В, которые соединены с вершинойС. Найти ACB.

Решение. Пусть сторона квадрата –  тогда   , . В равнобедренном треугольнике по теореме косинусов найдем косинус угла ACB. .

Следовательно,

Ответ: 

  1. Можно ли разрезать арбуз на 4 части так, чтобы после того, как его съели, осталось 5 корок?

Решение. Вырежем из арбуза длинный тонкий цилиндр, протыкающий арбуз насквозь. Это одна из частей, от которой останется две корки. Остальную часть арбуза произвольным образом разрежем на три части, каждая из которых дает по одной корке.

  1. Найти значение выражения:  при .

Решение. 

Если , то .

Ответ:–2002


Комментирование записей временно отключено.