Вы здесь: Главная > Школьникам > Олимпиада по математике 11 класс с ответами 2017-2018 школьный этап

Олимпиада по математике 11 класс с ответами 2017-2018 школьный этап

1. Постройте график функции: .

2. Докажите, что 2а +>3 при 0<а<1.

3.  

                     

4. Две окружности касаются сторон KL и MN четырехугольника KLMN: первая в точках A и B,  вторая – в точках C и D соответственно. На отрезке AC взята точка E, а на отрезке CD – точка F так, что отрезок EF касается обеих окружностей: первой – в точке G, а второй в точке H. Найдите EC, если AE=BF+9 и BD=13.

5. Дано:  Найти косинус угла между векторами и .

Решения (11 класс)

  1. Графиком функции будет прямая, заданная уравнением у=4.

 

      =

  =

2. Найдем производную функции f(a)= 2a +  

<0 при  Значит, f(a) убывает на   (0;1), а поэтому f(0)>f(1),

где   f(1=3, то есть        2a +   >3 при      

3.Ответ: .

4.  При построении не

будем проводить стороны

KN и LM, a проведем только

KL и MN.

Так как длины касательных,

проведенных из одной точки

к одной окружности, равны,

то OC=OD, OA=OB, значит

AC=BD=13.

Обозначим EC=EH=x,

BF=FG=а, и

AE=EG=а+9 и FH=FD=у.

Тогда АС=а+9+х=13. Для отрезка ЕF запишем два выражения. С одной стороны ЕF=FH+HE=x+y, с другой стороны ЕF=EG+EF=a+a+9=2a+9, откуда получаем уравнение x+y=2a+9.

Таким образом получили систему уравнений  Решив систему, запишем а=2, х=2=ЕС.         Ответ: ЕС=2.

5. Ответ: .


Комментирование записей временно отключено.