Вы здесь: Главная > Школьникам > Городская олимпиада по математике 11 класс

Городская олимпиада по математике 11 класс

  Задание №1.

  Решите уравнение:        

 Решение:

sin9x + (cos3x+sin3x)=0,

sin9x+cos (

2cos (

 где  

Задание №2.

 Докажите, что 2a+ при .

 Решение: Найдём производную функции f(a) =2a+  :  

Значит,  f(a)  убывает на  (0;1), а поэтому f(0)  ,  где f(1) =3, т.е.  2a+  при

Задание №3.

 В равнобедренной трапеции даны основания  а=21 см, b=9 см и h=8 см. Найдите радиус описанного круга.

Решение: пусть ABCD —  данная трапеция, BK и  CM  — высоты.

                                                            В                С

                                                    А                                D

Тогда  ;  AK=DM=6 см; BD=;  BD = 17 см;  AB=;  AB=10 см.   R =. Отсюда R=10 см.

Задание №4.

Найдите все положительные решения системы:

 ,  ,  , .

Решение:

Сложим все уравнения, предварительно  умножив второе и четвёртое уравнения  на  4.

Получим  или    

 отсюда следует, что .

Задание №5.

Докажите, что если в числе 12008 между нулями вставить любое количество троек, то полученное число делится на 19.

Решение: выпишем последовательность чисел, которые получаются из числа 12008: 120308, 1203308, ….,   12033…308 (n  троек),   ….  Первое число  равно 9Далее предположим, что  и число с  количеством троек в записи  n-1  делится  на 19 . Докажем, что и число с количеством троек n также делится на 19.. В самом деле, 12033…308-12033…308=1083000…0. Но  1083  делится на  19, поэтому и  также делится на 19.


Комментирование записей временно отключено.